러시아 총리가 고3에게 내고 간 아주 쉬운 문제

현 러시아 총리인 미하일 미슈스틴은 저번 9월 1일에, 지식의 날을 맞아

 

고등학교에 방문해서 11학년(우리로 치면 고3)한테 수학수업을 했음

 

수업을 하면서 간단한 수학 문제를 냈는데 쉽다고 해서 한번 가져와봄

 

 

 

평면 상에 선분 AB를 지름으로 하는 원 O가 있고, 원 O 위에 임의의 점 C가 있다.

눈금없는 자만 이용하여, 점 C에서 선분 AB에 내린 수선의 발 D를 찾으시오.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

총리 본인이 풀이해준 해설은 이렇다고 함

 

 

우선 원 O 위의 임의의 점 E를 찍는다

 

원의 지름에 대한 원주각은 90도니까 각 AEB는 각 ACB와 마찬가지로 90도이다

 

 

선분 AE와 선분 BC를 확장해 교점 F를 찾는다.

 

그러면 삼각형 ABF를 볼 수 있는데,

 

 

보다시피 삼각형 ABF에 대해, 점 A와 B의 수선 AC와 BE의 교점 G는 삼각형의 수심이다

 

그리고 점 F에서 점 G를 거치는 직선을 그린다

 

여기서 생기는 직선 FG와 선분 AB의 교점 H는 점 F의 수선의 발이다

 

 

 

이제 다른 선은 지우고 직선 FH에 대하여 생각한다

 

참고로 직선 FH가 점 C를 지나가지 않는 이상, 점 H는 선분 AB에 내린 점 C의 수선의 발이 아니다

 

 

 

다만 직선 FH와 원 O의 두 교점을 알 수 있다

 

여기서는 점 C와 가까운 교점을 I라고 하자

 

 

 

점 I와 C를 통과하는 직선을 그리고 선분 AB를 확장하면 두 선의 교점 J가 나온다

 

 

 

이제 직선 FH와 원 O의 두 교점 중 점 I를 제외한 나머지 교점을 K라고 하자

 

점 J와 K를 잇는 선분을 그리면 두 삼각형 JIH와 JKH가 나온다

 

두 삼각형은 직선 AJ에 대하여 대칭이다

 

 

 

삼각형 JKH에서 빗변 JK와 원 O가 만나는 교점을 L이라고 하자

 

 

 

점 K는 점 I를 직선 AJ에 대해 대칭한 점이다

 

마찬가지로 점 L은 점 C를 직선 AJ에 대해 대칭한 점이므로, 직선 CL은 직선 AJ에 대해 직교한다

 

∴직선 CL과 직선 AJ의 교점이 구하고자 하는 선분 AB에 대한 점 C의 수선의 발, 점 D가 된다

 

 

참 쉽죠?

 

이 문제는 ICM 2022 홈페이지에 며칠 뒤 올라왔음

 

완벽히 !!